La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
¿Cuales son sus aplicaciones?
Extremos relativos
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.
Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Aceleración
La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.
La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.
Concavidad
Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama unpunto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama unpunto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
¿Sus aplicaciones?
Extremos relativos.
Sea
- f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Aquí es su gráfica.
Mirando la gráfica, se observa que f tiene:
- Un máximo relativo a (0, 0);
- Un mínimo relativo a (1, - 1);
- Un máximo relativo a (4, 8).
- f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
- El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
- El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
- El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.
Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces:
- Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t km por hora.
Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora.
Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.
